Ø  BLOQUE 1.-  reconoce lugares geométricos. En este bloque se busca desarrollar los siguientes atributos.

1.- representar coordenadas en el plano y graficarlas.

2.- construir hipótesis, dísela y aplica modelos para probar su validez.

3.- utiliza fuentes de información mas elevados para un propósito  en especifico.

Ø  BLOQUE 2.- aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. Puntos a desarrollar:

1.- construye e interpreta modelos matematicos mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis  de situaciones reales.

2.-formula y resuelve problemas matematicos aplicando diferentes enfoques.

Explica los resultados obtenidos mediante los procedimientos.

Ø  BLOQUE 3.- integra los elementos de una recta como lugar geométrico.

1.- resuelve problemas matematicos aplicando los diferentes enfoques.

Interpreta los resultados obtenidos analiza las relaciones entre dos o mas variables.

2.- interpreta tablas, graficas, mapas y textos con simbolos matematicos.

Ø  BLOQUE 4.- utiliza distintas formas de la ecuación de una recta.

Ø  BLOQUE 5.-  emplea la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Ø  BLOQUE 6.- utiliza distintas ecuaciones de la circunferencia.

Ø  BLOQUE 7.-  emplea las ecuaciones de la parabola con vértice en el origen.

Ø  BLOQUE 8.- utiliza distintas ecuaciones de la parábola.

Ø  BLOQUE 9.- emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen.

Ø  BLOQUE 10.- utiliza distintas ecuaciones de la elipse

! Localiza en el plano cartesiano las siguientes coordenadas:

(0,-1)  (-1,-1)  (0,1)  (5,0)  (4,-5)  (-4,4)  (0,8)  (-6,0)  (-6,-1)  (4,7)   (-1,3)  (2,-2).

		Y
					X

 

                                                                                                                         

RECTAS Y SEGMENTOS

Cuando nos referimos a las líneas rectas debemos tener en cuenta que se extienden indefinidamente en ambos sentidos, en cambio el segmento es una parte de recta comprendida entre dos puntos.

Convencionalmente puede asignarse a una recta una dirección determinada y un sentido positivo. Teniéndose de esta manera una recta.

En cualquier segmento es parte de una recta dirigida.

			AB
			BA

 

                                                                                                             

 

La anotación  AB   significa que un segmento empieza en A y termina en B.

Es decir que el  AB =  BA.

Dados los puntos ABC sobre una recta dirigido resulta:

 

                                                                                                      

SEGMENTOS PARALELOS A LOS EJES

Dado el segmento AB donde A(x1,-y1) y B(x2,y2) se advierte en ambos casos que su longitud es igual a la de su proyección sobre el correspondiente eje coordenado.

Siguiendo el sentido de los ejes coordenados se considera positivo los segmentos horizontales dirigidos hacia la derecha del origen del propio segmento y los segmentos verticales dirigidos hacia arriba de dicho punto.

 

                                                                                                        

PROYECCIONES

La proyección de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a dicha recta. En la siguiente figura petrima es la proyección del punto “P” sobre la recta.

 

                                                                                     

La proyección de un segmento dirigido sobre una recta de dirección determinada es igual a la longitud del segmento por el coseno del angulo que forma el segmento y la recta.

					B’		C’
			A’

 

                                                                                                                                    

Dado el segmento AB, donde A (X1, Y1) y B(X2,Y2) sus proyecciones sobre sus ejes serán:

 

X

(Y2, Y1)

                                    

 

                                                                                                            

! Calcular la proyección sobre los ejes del segmento que une los puntos (-3,-2) y (5,6).

B

A (-3,-2)  B (5,6)   

X= x2-x1

Y= y2-y1

X= 5-(-3)

A

X= 5+3

X=8

Y=6-(-2)

Y=6+2

Y= 8

! Calcular la proyección sobre los ejes del segmento que une los puntos (4,2)  (-3,-5)

 

                                                                                                         

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

La obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento se calcula con las siguientes expresiones:

2

2

X= x1 + x2                            y= y1 + y2

                                                                                                                                    

Por ejemplo obtener las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos (-4,2) y (6,-8).

2

X= -4+6 = 1

 

A

2

Y= 2-8 = -3

 

 

B

                                                                                                     

Los vértices consecutivos de un cuadrado son (-5,-8)  (3,-8)  (-1,4)  (-9,0). Obtener los puntos medios de cada lado.

 

2

2

2

2

X= -5 + 3           y= -8 -4          x= 3 -1         Y= -4 + 4

                               

2

2

2

2

                                X= -2                 y= -12            x= 2              Y= 0

                                X= -1                  y=-6              x= 1               y=0

! Los puntos (-3,-4)  (3.-2)  (5,5)  (-1,3) son los vértices de una paralelogramo obtener el punto medio de sus lados.

! Los vértices consecutivos de un paralelogramo son (2,-5)  (10,-3)  (6,4)  (1,2)  (2,0) obtener los puntos medios de cada lado.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para encontrar la distancia entre los puntos p1 (x1, y1) y p2 (x2, y2).

 

(P1P2)2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2

P1p2=         (x2-x1)2 + (y2-y1)2

B

A

Determinar la distancia entre los puntos (5,7) y (2,3).

 

P1P2 =        (2-5)2 + (5-7)2

P1P2=         (-3)2 + (-4)2

P1P2=         9 + 16

P1P2=         25

P1P2= 5

! Comprobar que el triangulo cuyos vértices son (-1.1) (1,3) y (2-3) es equilátero.

! Los vértices de un paralelogramo son (1,3)  (3,6)  (o,5)  (-2,2). Obtener el perímetro.

! Los vértices de un cuadrilátero son (11,8)  (6,-2)  (-5,-4)  (0,6). Calcular la ubicación en el eje.- el punto medio de cada lado.- el perímetro.

La inclinación de una recta es el ángulo que forma la dirección positiva del eje “x” y se representa por la letra griega “ALFA”.

Dicho ángulo debe de considerarse engendrado al sentido contrario a las manecillas del reloj siendo la recta paralela al eje “x” su inclinación es 0 (cero).

 

                                                                                                                                α

                                        α

M= y2-y1

La tangente del angulo alfa se conoce con el nombre de pendiente de la recta, es decir, la pendiente es la tangente trigonométrica del angulo que una recta forma con el eje positivo de las X y se representa por la letra “µ” la pendiente de una recta puede expresarse en términos de las coordenadas de dos puntos cualquiera de ella.

 

C.A

Tan α = µ = C.O

                                                                                              α

h

Cos α = C.A

h

Sen α = C.O

Cuando una recta es paralela o coincide con el eje X su pendiente cera igual o si la recta es paralela al eje y su pendiente es infinita.

Por otra parte si la inclinación es una angulo comprendido entre los 0-90 grados, la pendiente de la recta es positiva y si esta entre los 90-180 grados, la pendiente es negativa, por ejemplo: calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (5,6)  (-4,2)

 

                                                                                                             m= 6-2

                                                                                                                  5-(-4)

                                                                                                             m= 4

                                                                                                                    9

m= y2-y1                              m=2-6 = -4 = 4

       x2-x1                                    -4-5     -9    9   

! Los vértices de un triangulo son: (-4,-4) (2,7) (-7,10) obtener:

a)   Los puntos medios de cada lado

b)   El perímetro

c)     La pendiente de cada lado.

! Obtener el perímetro y pendiente: (6,8)  (3,-3)  (-1,1).

! obtener el perímetro y pendiente: (5,-4)  (-2,-1) (1,10) (7,7)

! obtener las pendientes del triangulo (4,8( (o,12) (-3,1)

Las rectas paralelas tiene iguales inclinaciones y por lo mismo iguales pendientes. Recíprocamente si varias rectas tienes pendientes iguales son paralelas. De esta manera si las pendientes de dos rectas son m1 y m2 estas son  paralelas si m1=m2.

Dos rectas son perpendiculares si la inclinación de una es 90grados mas que la de la otra.

Luego 2 rectas son perpendiculares si tienen pendientes reciprocas y de signo contrario, es decir, si el producto de sus pendientes es -1.

! Obtener las pendientes del triangulo: (2,-2) (8,6) (2,1).

SOLUCION DE DETERMINANTES

	FILA

 

a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

DIAG. SECUNDARIA

DIAG. PRINCIPAL

COLUMNA

1	-2	-3
-4	2	1
5	-1	-3
1	-2	-3
-4	2	1

= 6-12-10-(-30-1+24) =6-12-10-(-7) =6-12-10+7 =-9

=6-10-12-(-30-1+24) =6-10-12-(-7) =6-10-12+7 =-9

                  

1	-2	-3	1	-2
-4	2	1	-4	2
5	-1	-3	5	-1

AREAS POSITIVAS Y NEGATIVAS

Convencionalmente se ha establecido que si un movil recorre el perímetro o contorno de una figura en el sentido contrario de las manecillas del reloj el área es positiva y si lo hace siguiendo el sentido del movimiento de las manecillas el área es negativa.

                                                                ABCD= POSITIVA

                                                                ADCB= NEGATIVA

ÁREA DE UN TRIANGULO

2

= bxh                             = ½ (bxh)

Es posible obtener el área de un triangulo conociendo las coordenadas de sus vértices por ejemplo: obtener el área del triangulo cuyos vértices son: (1,4) (-4,5) (8,-3).

	=12+5+32-(-16+40-3) =1/2 (49-21) =1/2 (-28) =14

 

1	X1	Y1
1	X2	Y2
1	X3	Y3

1	1	4
1	-4	5
1	8	-3

	½=

 

1/2=

! Obtener el área del triangulo cuyos vértices son: (1,2) (3,4)(-1,4)

! Obtener el área del triangulo cuyos vértices son: (1,-2) (-2,2) (9,4)

! Obtener el área del triangulo cuyos vértices son: (-1,-3) (-2,5) (2,3)

ÁREA DE UN POLIGONO

Obtener el área del cuadrilátero cuyos vértices son (2,-3) (3,3) (-2,8) (-6,0).

	C

 

1	-6	0	1	-6
1	2	-3	1	2
1	3	3	1	3

A

B

D

                                                               DAB

½=

	=1/2 =6+18+0-(-18-9+0) =24+27=51 =25.5

 

=1/2= -6-48+0-(-18+24-0) =-54+6=60 =30

DCB

1	-6	0	1	-6
1	-2	8	1	-2
1	3	3	1	3

½=

                                       R= 55.5

INTEGRA LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA OMO LUGAR GEOMETRICO.

Ecuación de la recta que pasa por un punto. Sea la recta AB de pendiente “m” que pasa por el punto fijo x1,y1.

p

P(x, y)

Si p(x,y) es otro punto de coordenadas variables que se encuentran sobre la recta tendremos.

M= y2-y1                      m(x-x1)= y-y1 M=y-y1

                                  

		X2-x1
							y-y1=m(x-x1)
	X2-x1

 

! Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,6) y cuya pendiente es 3/2.

! Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,-3) y que forma un angulo de 135° con dirección positiva del eje x.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR 2 PUNTOS

Sea la recta AB que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) tendremos.

	X2,y2

 

X2-x1

X1,y1

                                  

Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,3) y (2,1)

 

5

2-(-3)

y-3= 1-3  (x-(-3) y-3=-2  (x-(-3) 5(y-3)= -2(x+3) 5y-15= -2x-6 5y-15+2x+6=0 2x+5y-9=0

X2-x1

                                                              y-y1= y2-y1 (x-x1)

! Los vértices de un triangulo son A(-4,-4) B(2,7) C(-7,10). Obtener las ecuaciones de sus lados.

! Los vértices de un polígono: (9,2) (4,7) (-2,0) (5,3). Obtener la ecuación de cada lado.

! Obtener la ecuación de la perpendicular mediatriz del segmento que une los puntos (-4,3) (6,7).

! Obtener la ecuación de la perpendicular mediatriz del segmento que une cada par de puntos. (2,1) (8,-3).

! Obtener la ecuación de la recta: (-1,-4) (7,2)

! Obtener la ecuación de la recta: (1,2) (3,6).

! Obtener la ecuación de la recta: (-8,-1) (-4,-5)

! Los vértices de un cuadrilátero son (3,5) (-5,5) (-7,-2) (5,-2). Obtener la ecuación de sus diagonales.

! Los vértices de un triangulo son (5,4) (-3,2) (2,-6). Obtener las ecuaciones de las perpendiculares mediatrices de cada lado.

FORMA SIMPLIFICADA DE LA ECUACION DE LA RECTA

Si una recta AB corta el eje de las “y” en el punto 0,B tendremos:

			y-y1=m (x-x1) y-b=m (x-0) y-b=m x y= m x+b

 

              

Esta expresión corresponde a la forma simplificada a la ecuación de la recta.

La ecuación de una recta puede expresarse en la forma simplificada transformándola en otra equivalente donde la variable “y” se encuentre despejada. Por ejem:

Y=mx+b M=3/4 B=-3

3x-4y=12 -4y=12-3x -1)   -4y=-3x+12 4y=3x-12 Y=3x-12 Y=3/4x-3

Expresar en la forma simplificada la ecuación 3x-4y=12 y obtener los valores de m y b.

4

 

Es importante hacer notar que “b” es la distancia que hay entre el origen y el punto de intersección de la recta con el punto “y” y se llama ordenada.

La distancia entre el origen y la intersección de la recta con el eje “x” se denomina abscisa al origen y generalmente se representa “a”.

a

b

 

Dada la ecuación de una recta haciendo x=0 se obtiene el valor de “b” y haciendo y=0 se obtiene el valor de “a”.

La determinación de la abscisa y la ordenada al origen nos permite construir la recta con mayor facilidad por ejemplo: dada la ecuación 4x+5y+20=0. Obtener las coordenadas al origen y construir la recta.

 

FORMA SIMETRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Sea la recta mn que corta los ejes coordenados en los puntos (a,o) y (o,b) tendremos.

			(a,0)

 

                                                                                    

Se observa que m=-b/a es decir que conociendo las coordenadas al origen es posible obtener fácilmente el valor de la pendiente.

Si agrupamos en el primer miembro los términos que contienen las variables y dividimos ambos miembros entre “b” resulta:

 

! Expresar en su forma simetrica la ecuación de la recta 6x-3y=18. Y obtener el valor de la pendiente.

! Expresar en su forma simetrica y simplificada la ecuación 5x-3y-15=0. Y obtener el valor de la pendiente.

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA

Se concluye que la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables recíprocamente toda ecuación de primer grado con dos variables representa una recta.

La ecuación general de primer grado es de la forma Ax+By+C=0 y A B y C son constantes, donde AyB son diferentes de 0.

	Y= mx + b Ax+By+C=0 By=-Ax-C Y=- Ax/B – C/B M=-A/B b= -C/B

 

                                                                                                

! Expresar en la forma simplificada, simetrica y general la ecuación de la recta que pasa por el punto (o,2) y es paralela a la recta e ecuación 3x-4y-24=0.

! Obtener en sus tres formas la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,-5) y  es perpendicular a la recta de la ecuación 5x-2y-10=0.

! Los vértices de un triangulo  son (-3,2) (2,-6) (5,4) obtener: a) las ecuaciones de la perpendicular mediatriz de cada lado expresada en forma general, simplificada y simetrica.

! (1,-2) (5,1) (2,5) (-2,2) son de un rectangulo. Obtener la ecuación de cada lado expresada en sus tres formas.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Dado u punto de coordenadas conocidas es posible encontrar su distancia a una recta de ecuación dada utilizando la siguiente expresión.

D= Ax1 + By1 + C

                                                                    A2 + B2              

En consecuencia para obtener la distancia de un punto a una recta basta con reducir la ecuación de la recta a la forma normal y sust. “x”  y “y” por ls coordenadas del punto.

! Obtener la distancia del punto (4,6) a la recta 3x+4y-15=0

! (4,-10) 3x+4y-15=0

! 5x+12y-30=0 (9,2)

! Y=2x-6 (10,-2)

! Hallar la distancia entre la recta 3x+4y+12=0 con el punto (-3,-1/2).

! Hallar la distancia del punto (5,7) a la recta que pasa por los puntos (8,3) (-4,-6)

! Obtener la distancia del punto (3,-4) a la recta 6x-8y-15=0

LA CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos que se encuentran a una distancia constante de u punto fijo.

El punto fijo es el centro y la distancia constante es el radio. En l siguiente figura “p” es un punto cualquiera de la curva.

 

r

c

                                                                                    CP =r (constante)

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

R= R= (x-h)2 + (y-k)2

Siendo el centro de una circunferencia el punto fijo “c” de coordenadas “h,k” un punto cualquiera de la curva el punto “p” de coordenadas (x,y) estará a “r” unidades de “c”.

 

                                                                                 

! De la ecuación de un circunferencia en su forma general. Obtener la ecuación en su forma reducida las coordenadas del centro y el valor del radio.

! Obtener la ecuación de la circunferencia y el diámetro es el segmento que une los puntos (4,1) (-1,0)

! Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (1,-3) tangente a la recta -2x-y=4

! Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3) (-1,1).

! Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (-4,2) tangente a la recta 3x+4y-16=0.

 LA PARABOLA

Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo y de una recta fija. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz.

	Y2=4px Y2=-4px X2= 4py X2=-4py

 

En la figura F es el foco y DD’ es directriz el punto V es el vértice de la parábola y se encuentra situado en el punto medio del segmento H F.

La recta H F es el eje de simetría de la curva. La distancia del foco. Es decir el segmento HF se llama parámetro y se representa por 2p la recta EE’ es el lado recto ancho focal de la parábola y se representa por 4p.

ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN Y CUYO EJE DE SIMETRIA COINCIDE CON UNO DE LOS EJES COORDENADOS

En este caso se deben de considerar las 4 posiciones siguientes:

1-      Vértice en el origen, eje de simetría en xx’ y dirección “ox” la parábola abre en esa dirección:  

 

2.- vértice en el origen eje de simetría en xx’ y dirección “0x”

                                                                                    

3.- vértice en el origen, eje de simetría yy’ y dirección “oy”

 

! Dada la ecuación de la parábola determinar la posición en el plano, encontrar las coordenadas el vértice y el foco, la longitud del parámetro , el ancho focal, y la ecuación de la directriz y el eje de simetría la parábola es y2=12x

! Se la parábola x2+4y=0 obtener las coordenadas del vértice y foco el parámetro, el lado recto, la ecuación de la directriz y el eje de simetría.

! Vértice (o,o) ecuación de la directriz y+2=0

! 4y-9x=0

! 2y-3x2=0

! 6x+25y2=0

! V(0,0) F(o,5)

! V(o,o) F (3,0)

! F(5,0) directriz x+5=0

PARABOLA CON EJE DE SIMETRIA PARALELO A LOS EJES COORDENADOS

Para este caso se debe considerar las mismas cuatro posiciones anteriores y las ecuaciones de las parábolas se modificaran dado que el vértice tendrá como coordenada el punto (h, k).

(y-k)2=4p (x-h) -----DERECHA

(y-k)2=-4p (x-h)-----IZQUIERDA

(x-h)2=4p (y-k) --------ARRIBA

(x-h)2=-4p (y-k) ---------ABAJO

! Obtener la ecuación d la parábola que tiene como vértice el punto (2,3) y el foco la coordenada (6,3).

! Vértice (-2,5)   directriz y=8

! Vértice (-1,0) F (4,0)

! Directriz y=3    vertice (3,1)

! Directriz x=6    vertice (-4,-3)

! V(2,3)   F(5,3)

! V(5,4)   F(5,-2)

! V(2,5) F (2,-1)